Resolva:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função
. Ou seja, precisamos encontrar uma função
tal que
.
Informações dadas: a integranda é e a variável de integração é
. A resposta deve ser a primitiva mais constante de integração
.
Informações dadas: a integranda é
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica): sabemos que
Também é importante lembrar a derivada básica
ou seja, quando vemos um fator
é um forte indício de substituição com
.
Vamos manipular a integranda para aproveitar isso. Escrevemos
Substituímos um dos fatores
pela identidade
, obtendo
Logo a integral fica
Passo 3
Agora fazemos a substituição para simplificar: tome
Então
Com isso, a integral em
transforma-se numa integral em
:
Essa nova integral é direta: é soma de duas primitivas simples:
Passo 4
Voltando à variável original
usando
, obtemos
Vou checar rápido derivando para garantir que está correto:
Derivando dá
. Derivando
dá
. Somando:
Derivando
que é exatamente a integranda. Está confirmado.