Resolva:
\int \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função \operatorname{sec}^{4}x. Ou seja, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}^{4}x.
Informações dadas: a integranda é \operatorname{sec}^{4}x e a variável de integração é x. A resposta deve ser a primitiva mais constante de integração +C.

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica): sabemos que
\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x.
Também é importante lembrar a derivada básica
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x,
ou seja, quando vemos um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx é um forte indício de substituição com u=\tan x.
Vamos manipular a integranda para aproveitar isso. Escrevemos
\operatorname{sec}^{4}x=\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Substituímos um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x pela identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, obtendo
\operatorname{sec}^{4}x=\operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan^{2}x).
Logo a integral fica
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan^{2}x)\,dx.

Passo 3

Agora fazemos a substituição para simplificar: tome
u=\tan x.
Então
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Com isso, a integral em x transforma-se numa integral em u:
\int \operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan^{2}x)\,dx = \int (1+u^{2})\,du.
Essa nova integral é direta: é soma de duas primitivas simples:
\int (1+u^{2})\,du = \int 1\,du + \int u^{2}\,du = u + \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x usando u=\tan x, obtemos
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \tan x + \frac{\tan^{3}x}{3} + C.
Vou checar rápido derivando para garantir que está correto:
Derivando \tan x \operatorname{sec}^{2}x. Derivando \dfrac{\tan^{3}x}{3} \tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x. Somando:
\operatorname{sec}^{2}x + \tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x(1+\tan^{2}x)=\operatorname{sec}^{4}x,
que é exatamente a integranda. Está confirmado.

Resposta

\tan x+\dfrac{\tan^{3}x}{3}+C

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