Utilize identidades trigonométricas apropriadas:
\int \sin (2 x) \cos (3 x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de uma \sin com argumento 2x e uma \cos com argumento 3x. Não há limites (é uma primitiva), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos transformar o produto de seno e cosseno em soma de senos usando uma identidade trigonométrica. Primeiro eu te lembro duas fórmulas fundamentais (fáceis de demonstrar pela definição trigonométrica ou pelas fórmulas de soma):
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.
Aqui A e B são números (ou expressões em x). Se somarmos as duas igualdades obtemos
\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B.
Dividindo por 2,
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Essa é a identidade “produto-para-soma” que vamos usar. É útil porque integrais de soma de senos são diretas.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade ao nosso caso tomando A=2x e B=3x. Substituindo na identidade:
\sin(2x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(2x+3x)+\sin(2x-3x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x)+\sin(-x)\big).
Como \sin(-x)=-\sin x, obtemos
\sin(2x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x)-\sin x\big).
Portanto a integral fica
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int\big(\sin(5x)-\sin x\big)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo. Lembrete: a integral de \sin(kx) é -\tfrac{1}{k}\cos(kx) porque a derivada de \cos(kx) é -k\sin(kx). Aplicando isso:
\int \sin(5x)\,dx=-\tfrac{1}{5}\cos(5x),\qquad \int \sin x\,dx=-\cos x.
Substituindo em \tfrac{1}{2}\int(\sin(5x)-\sin x)\,dx:
\tfrac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)-\big(-\cos x\big)\Big)=\tfrac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)+\cos x\Big).

Passo 5

Simplifico o fator \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)+\cos x\Big)=-\tfrac{1}{10}\cos(5x)+\tfrac{1}{2}\cos x.
Não esquece da constante de integração C. Uma forma alternativa equivalentemente bonita é
\frac{5\cos x-\cos(5x)}{10}+C,
que dá a mesma primitiva (só reescrevi com denominador comum).

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas boa prática): derivando -\tfrac{1}{10}\cos(5x)+\tfrac{1}{2}\cos x obtemos
-\tfrac{1}{10}\cdot(-5)\sin(5x)+\tfrac{1}{2}\cdot(-\sin x)=\tfrac{1}{2}\sin(5x)-\tfrac{1}{2}\sin x=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x)-\sin x\big),
que é exatamente \sin(2x)\cos(3x) pela identidade que usamos. Então está correto.

Resposta

-\tfrac{1}{10}\cos(5x)+\tfrac{1}{2}\cos x + C

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