Utilize identidades trigonométricas apropriadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de uma
com argumento
e uma
com argumento
. Não há limites (é uma primitiva), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos transformar o produto de seno e cosseno em soma de senos usando uma identidade trigonométrica. Primeiro eu te lembro duas fórmulas fundamentais (fáceis de demonstrar pela definição trigonométrica ou pelas fórmulas de soma):
Aqui
e
são números (ou expressões em
). Se somarmos as duas igualdades obtemos
Dividindo por
,
Essa é a identidade “produto-para-soma” que vamos usar. É útil porque integrais de soma de senos são diretas.
Passo 3
Agora aplicamos a identidade ao nosso caso tomando
e
. Substituindo na identidade:
Como
, obtemos
Portanto a integral fica
Passo 4
Integramos termo a termo. Lembrete: a integral de
é
porque a derivada de
é
. Aplicando isso:
Substituindo em
:
Passo 5
Simplifico o fator
:
Não esquece da constante de integração
. Uma forma alternativa equivalentemente bonita é
que dá a mesma primitiva (só reescrevi com denominador comum).
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): derivando
obtemos
que é exatamente
pela identidade que usamos. Então está correto.