Utilize identidades trigonométricas apropriadas:
\int \sin x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sin x \cos x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto das funções \sin x e \cos x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\sin x\cos x. Não há valores numéricos, então o resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos o produto \sin x\cos x existem abordagens simples que geralmente caem numa prova:
  • usar uma substituição simples, porque uma das funções tem derivada parecida com a outra (por exemplo, \sin x tem derivada \cos x);
  • usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto num seno de ângulo duplo: \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin 2x.
    Vou aplicar a substituição direta primeiro (método mais básico), depois mostro a identidade e integro por ela para reforçar.

Passo 3

Método 1 — substituição u=\sin x.
Explanação da ideia: se escolho uma nova variável u que seja \sin x, sua diferencial du relaciona-se com dx por du=\cos x\,dx. Isso é perfeito porque a integranda tem um fator \cos x\,dx. Então fazemos a troca completa.
Troca:
u=\sin x
du=\cos x\,dx
Portanto a integral
\int \sin x \cos x \, dx
fica
\int u \, du.

Passo 4

Integração do novo integrando e voltando para x.
Regra usada: a primitiva de u em relação a u é \tfrac{u^2}{2}, porque \frac{d}{du}\left(\tfrac{u^2}{2}\right)=u. Assim
\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C.
Voltando para a variável original usando u=\sin x,
\frac{u^2}{2}+C=\frac{\sin^2 x}{2}+C.

Passo 5

Resumo do método 1 (conclusão parcial): uma primitiva é
F(x)=\frac{\sin^2 x}{2}+C.
Isso já é uma resposta válida. Vou agora mostrar outra forma de chegar no mesmo resultado usando identidade trigonométrica, para você ter flexibilidade na prova.

Passo 6

Método 2 — usar a identidade do ângulo duplo.
Explicação da identidade: a identidade do seno de ângulo duplo diz
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Essa fórmula pode ser obtida a partir das fórmulas de soma de ângulos, mas aqui vou usá-la diretamente; ela nos permite transformar o produto em um seno simples:
\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.

Passo 7

Integrando com a identidade:
Substituindo na integral original,
\int \sin x\cos x \, dx = \int \frac{1}{2}\sin 2x \, dx = \frac{1}{2}\int \sin 2x \, dx.
Agora usamos a primitiva de \sin 2x. Regra: para \int \sin(ax)\,dx a primitiva é -\frac{1}{a}\cos(ax), porque a derivada de \cos(ax) é -a\sin(ax). Assim,
\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+C = -\frac{1}{4}\cos 2x + C.

Passo 8

Mostrar que os resultados são equivalentes (diferença é só constante).
Usamos a identidade trigonométrica de cosseno duplo:
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
Substituindo em -\tfrac{1}{4}\cos 2x,
-\frac{1}{4}\cos 2x = -\frac{1}{4}(1-2\sin^2 x) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin^2 x.
Logo
-\frac{1}{4}\cos 2x + C = \frac{1}{2}\sin^2 x + \widetilde{C},
onde \widetilde{C}=C-\tfrac{1}{4} é outra constante arbitrária. Portanto as primitividades coincidem até uma constante, como deve acontecer.

Passo 9

Observação extra (outro exemplo de substituição): se alguém preferir usar u=\cos x, então du=-\sin x\,dx e
\int \sin x\cos x\,dx = -\int u\,du = -\frac{u^2}{2}+C = -\frac{\cos^2 x}{2}+C,
que novamente é equivalente a \tfrac{1}{2}\sin^2 x + C por \sin^2 x+\cos^2 x=1. Ou seja, muitas rotas levam ao mesmo resultado — escolha a que você achar mais rápida na prova.

Resposta

\dfrac{\sin^2 x}{2}+C

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