Utilize identidades trigonométricas apropriadas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto das funções
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há valores numéricos, então o resultado deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos o produto
existem abordagens simples que geralmente caem numa prova:
- usar uma substituição simples, porque uma das funções tem derivada parecida com a outra (por exemplo,
tem derivada ); - usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto num seno de ângulo duplo:
.
Vou aplicar a substituição direta primeiro (método mais básico), depois mostro a identidade e integro por ela para reforçar.
Passo 3
Método 1 — substituição
.
Explanação da ideia: se escolho uma nova variável
que seja
, sua diferencial
relaciona-se com
por
. Isso é perfeito porque a integranda tem um fator
. Então fazemos a troca completa.
Troca:
Portanto a integral
fica
Passo 4
Integração do novo integrando e voltando para
.
Regra usada: a primitiva de
em relação a
é
, porque
. Assim
Voltando para a variável original usando
,
Passo 5
Resumo do método 1 (conclusão parcial): uma primitiva é
Isso já é uma resposta válida. Vou agora mostrar outra forma de chegar no mesmo resultado usando identidade trigonométrica, para você ter flexibilidade na prova.
Passo 6
Método 2 — usar a identidade do ângulo duplo.
Explicação da identidade: a identidade do seno de ângulo duplo diz
Essa fórmula pode ser obtida a partir das fórmulas de soma de ângulos, mas aqui vou usá-la diretamente; ela nos permite transformar o produto em um seno simples:
Passo 7
Integrando com a identidade:
Substituindo na integral original,
Agora usamos a primitiva de
. Regra: para
a primitiva é
, porque a derivada de
é
. Assim,
Multiplicando por
,
Passo 8
Mostrar que os resultados são equivalentes (diferença é só constante).
Usamos a identidade trigonométrica de cosseno duplo:
Substituindo em
,
Logo
onde
é outra constante arbitrária. Portanto as primitividades coincidem até uma constante, como deve acontecer.
Passo 9
Observação extra (outro exemplo de substituição): se alguém preferir usar
, então
e
que novamente é equivalente a
por
. Ou seja, muitas rotas levam ao mesmo resultado — escolha a que você achar mais rápida na prova.