Resolva por integração as seguintes EDO y' = -sen(pi x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma e precisamos resolvê-la por integração. Isso significa que vamos encontrar a função cuja derivada em relação a é igual a . Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, especialmente a técnica de integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A ideia é “desfazer” a derivada para recuperar a função original.
A integral do lado esquerdo simplifica para :
Onde é a constante de integração, representando uma família de soluções possíveis.

Passo 4

Agora, vamos focar na integral . Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Vamos deixar claro:
Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral:

Passo 6

Sabemos que a integral de em relação a é . Então:
Voltando à variável original :

Passo 7

Finalmente, juntamos tudo para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é a constante de integração.

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