Resolva as integrais:
integral d xx raizx^2+81

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxxraizx^2+81
Este é um caso clássico de integral envolvendo raizx^2+a^2, para o qual usamos substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 9tantheta,
pois a^2=81 e a=9. Então
dx = 9sec^2theta,dtheta, raizx^2+81 = raiz81tan^2theta+81 = 9sectheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dxxraizx^2+81 = integral 9sec^2theta,dthetal(9tanthetar)l(9secthetar) = 19integral sec^2thetatantheta,sectheta,dtheta = 19integral secthetatantheta,dtheta = 19integral csctheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta+cotthetar| + C
Assim,
integral dxxraizx^2+81 = -19,lnl|csctheta+cotthetar| + C

Passo 5

Voltando a x: de x=9tantheta temos
csctheta = 1sintheta = raizx^2+81x, cottheta = 1tantheta = 9x
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csctheta+cottheta = raizx^2+81x + 9x = raizx^2+81+9x
Substituindo isso na expressão da integral:

Resposta

boxed integral dxxraizx^2+81 = -19,ln!gl|raizx^2+81+9xgr| + C

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