Resolva as integrais:
integral x^2 d x(x^2+100)^3 / 2

Passo 1

Temos que calcular a integral
integral x^2,dx(x^2+100)^3/2
O conteúdo aqui é integração de funções com raiz no denominador. Para resolver, vamos usar duas ideias principais: reescrever o numerador para separar a integral e depois aplicar as fórmulas de primitivas para integral dx/raizx^2+a^2 e integral dx/(x^2+a^2)^3/2.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando
x^2 = (x^2 + 100) - 100
Assim, o integrando vira
x^2(x^2+100)^3/2 = x^2+100(x^2+100)^3/2 - 100(x^2+100)^3/2

Passo 3

Logo, a integral original se divide em duas partes:
I = integral dx(x^2+100)^1/2 - 100 integral dx(x^2+100)^3/2

Passo 4

A primeira integral é
integral dxraizx^2+100
Usamos a fórmula padrão
integral dxraizx^2+a^2 = lnl(x + raizx^2+a^2r) + C
Com a^2=100, fica
integral dxraizx^2+100 = lnl(x + raizx^2+100r) + C1

Passo 5

A segunda integral é
integral dx(x^2+100)^3/2
Para resolver, note que
ddx(xraizx^2+a^2) = a^2(x^2+a^2)^3/2
Isso leva a
integral dx(x^2+a^2)^3/2 = xa^2raizx^2+a^2 + C
Aplicando a^2=100, obtemos
integral dx(x^2+100)^3/2 = x100raizx^2+100 + C2

Passo 6

Substituindo no passo anterior, temos
I = lnl(x + raizx^2+100r) - 100 cdot x100raizx^2+100 + C
Simplificando,
I = lnl(x + raizx^2+100r) - xraizx^2+100 + C

Resposta

lnl(x + raizx^2+100r) - xraizx^2+100 + C

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