Resolva as integrais:
integral 2 x+1(x+1)^2(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 2x+1(x+1)^2,(x^2+4)^2,dx
O método mais adequado aqui é decomposição em frações parciais de
2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2
em somatório de termos cujas primitivas são padrões: logaritmo, função racional de grau -1, arctan e a primitiva de 1(x^2+4)^2.

Passo 2

Proponho a seguinte decomposição em frações parciais:
2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2 = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx+Dx^2+4 + Ex+F(x^2+4)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2(x^2+4)^2 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos um sistema para A,B,C,D,E,F.

Passo 3

Usando x=-1
2(-1)+1 = -1 = B,(1+4)^2 =25,B Longrightarrow B=-tfrac125
Igualando coeficientes de x^5,x^4,dots,x^0 e resolvendo o sistema surge
A=6125, B=-125, C=-6125, D=11125, E=-825, F=1325

Passo 4

Logo a integral se escreve como soma de cinco integrais:
integral6/125x+1,dx +integral-1/25(x+1)^2,dx +integral-6/125,x+11/125x^2+4,dx +integral-8/25,x(x^2+4)^2,dx +integral13/25(x^2+4)^2,dx

Passo 5

Calculamos uma a uma, usando fórmulas padrões:
  1. integral6/125x+1,dx =6125lnlvert x+1rvert
  2. integral-1/25(x+1)^2,dx =-125l(-(x+1)^-1r) =125(x+1)
  3. Para integral-6/125,x+11/125x^2+4,dx separamos
-6125integralxx^2+4,dx +11125integral1x^2+4,dx
e usamos
integral x/(x^2+4),dx=tfrac12ln(x^2+4)
e
integral dx/(x^2+4)=tfrac12arctan!l(tfrac x2r).
  1. Para integral-8/25,x(x^2+4)^2,dx notamos que
    ddx(x^2+4)^-1=-2x/(x^2+4)^2, logo
integral-8/25,x(x^2+4)^2,dx =-825cdotl(-12r)1x^2+4 =425(x^2+4)
  1. Finalmente
    integral13/25(x^2+4)^2,dx
    usa a fórmula
    integraldx(x^2+a^2)^2 =x2a^2(x^2+a^2)+12a^3arctan!l(tfrac xar)
    com a=2, dando
1325l[ x8(x^2+4)+116arctan!l(tfrac x2r) r] =13,x200(x^2+4) +13400arctan!l(tfrac x2r)

Passo 6

Somando tudo e agrupando termos de ln, de fração racional e de arctan, obtemos a primitiva geral.

Resposta

integral 2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2,dx =6125lnlvert x+1rvert +125(x+1) -3125lnl(x^2+4r) +425(x^2+4) +13,x200(x^2+4) +1532000,arctan!l(x2r) +C

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