Resolva as integrais:
integral 1x-raizx+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x-raizx+2,dx
O que vamos usar é uma substituição para eliminar a raiz e, em seguida, decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = raizx+2
Então
x = t^2 - 2, dx = 2t,dt,
e o denominador fica
x - raizx+2 = t^2 - 2 - t = (t-2)(t+1)

Passo 3

Substituindo em integral 1x-raizx+2,dx, obtemos
integral 1t^2 - t - 2,(2t,dt) = integral 2t(t-2)(t+1),dt

Passo 4

Para integrar
integral 2t(t-2)(t+1),dt
fazemos decomposição em frações parciais:
2t(t-2)(t+1) = At-2 + Bt+1
Multiplicando por (t-2)(t+1)
2t = A(t+1) + B(t-2) = (A+B),t + (A-2B)
Igualando coeficientes:
A + B = 2, A - 2B = 0 Longrightarrow B = 23,; A = 43

Passo 5

Substituindo A e B e integrando:
integral 2t(t-2)(t+1),dt = integrall(tfrac43t-2 + tfrac23t+1r),dt = 43lnl|t-2r| + 23lnl|t+1r| + C

Passo 6

Voltando a x com t=raizx+2, a primitiva fica
43lnl|raizx+2-2r| + 23lnl|raizx+2+1r| + C

Resposta

integral 1x-raizx+2,dx = 43lnl|raizx+2-2r| + 23lnl|raizx+2+1r| + C

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