Resolva as integrais:
integral 1x^2 raiz25+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^2,raiz25+x^2,dx
O conteúdo aqui é substituição trigonométrica, já que temos uma raiz do tipo raiza^2+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 5tan u
então
raiz25+x^2 = raiz25+25tan^2u = 5sec u
e
dx = 5sec^2u,du

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral 1x^2,raiz25+x^2,dx = integral 1(5tan u)^2 cdot 5sec u;5sec^2u,du = 125integral sec^2utan^2u,sec u,du = 125integral cot u,csc u,du

Passo 4

Agora usamos que
ddu(csc u) = -csc u,cot u,
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integral cot u,csc u,du = -csc u + C
Portanto a integral vira
125l(-csc ur) + C = -125csc u + C

Passo 5

Volta à variável x. Como tan u = tfracx5, temos
sin u = xraiz25+x^2 Longrightarrow csc u = raiz25+x^2x
Substituindo, o antiderivado é
-125,raiz25+x^2x + C

Resposta

-raiz25+x^225,x + C

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