Resolva as integrais:
integral sec ^4 x tg^7 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sec^4 x,tan^7 x,dx. Esse é um exercício de integrais de funções trigonométricas em que vamos usar substituição e a identidade sec^2 x = 1 + tan^2 x.

Passo 2

Para preparar a substituição, a gente separa um fator de sec^2 x,dx no integrando. Assim:
integral sec^4 x,tan^7 x,dx = integral l(sec^2 xtan^7 xr)l(sec^2 x,dxr)

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx
Além disso, pela identidade trigonométrica, sec^2 x = 1 + tan^2 x = 1 + u^2.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com
integral sec^2 xtan^7 x,(sec^2 x,dx) = integral u^7,(1 + u^2),du = integral (u^7 + u^9),du

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral u^7,du = u^88, integral u^9,du = u^1010
Logo a primitiva em u é
u^88 + u^1010 + C

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que u = tan x, a resposta final é
tan^8 x8 + tan^10 x10 + C

Resposta

tan^8 x8 + tan^10 x10 + C

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