Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2,dx(x^2+4)^2. O conteúdo aqui é integrais de funções racionais e vamos usar a decomposição de frações e as fórmulas de integraldxx^2+a^2 e integraldx(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Para simplificar a expressão, escrevemos x^2 como (x^2+4)-4. Assim:
x^2(x^2+4)^2=x^2+4(x^2+4)^2-4(x^2+4)^2=1x^2+4-4(x^2+4)^2

Passo 3

Logo, a integral se separa em
integral x^2,dx(x^2+4)^2=integral dxx^2+4-4integral dx(x^2+4)^2

Passo 4

Aplicamos agora as fórmulas conhecidas:
  • integral dxx^2+a^2=1aarctanl(tfracxar)+C
  • integral dx(x^2+a^2)^2=x2a^2(x^2+a^2)+12a^3arctanl(tfracxar)+C

Passo 5

No nosso caso, a=2. Então:
  • integral dxx^2+4=12arctanl(tfracx2r)
  • integral dx(x^2+4)^2=x8(x^2+4)+116arctanl(tfracx2r)

Passo 6

Substituindo de volta:
integral x^2,dx(x^2+4)^2=12arctanl(tfracx2r)-4l(x8(x^2+4)+116arctanl(tfracx2r)r)+C

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
integral x^2,dx(x^2+4)^2=12arctanl(tfracx2r)-x2(x^2+4)-14arctanl(tfracx2r)+C,

Passo 8

integral x^2,dx(x^2+4)^2=14arctanl(tfracx2r)-x2(x^2+4)+C

Resposta

14arctanl(tfracx2r)-x2(x^2+4)+C

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