Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z-1|=\frac{1}{2}
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z-1|=\frac{1}{2}
Passo 1
A integral dada é
ao longo do círculo
. O conteúdo aqui é o Teorema de Resíduos (Teorema 5.5.2) ou, de forma equivalente, a Fórmula Integral de Cauchy (Teorema 5.5.1). Vamos precisar identificar quais polos da função estão dentro de
e calcular a contribuição (resíduo) do polo que ficar no interior.
Passo 2
A função
tem polos simples em
e
. Como o contorno é o círculo de centro em
e raio
, temos: se
então
(dentro) e se
então
(fora). Logo, só o polo em
contribui.
Passo 3
Para calcular o resíduo em
, usamos a definição para polo simples:
Passo 4
Pelo Teorema de Resíduos (Teorema 5.5.2), a integral é
Resposta
-2\pi i