Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z-1|=\frac{1}{2}

Passo 1

A integral dada é ointCz(z-1)(z-2),dz ao longo do círculo |z-1|=tfrac12. O conteúdo aqui é o Teorema de Resíduos (Teorema 5.5.2) ou, de forma equivalente, a Fórmula Integral de Cauchy (Teorema 5.5.1). Vamos precisar identificar quais polos da função estão dentro de C e calcular a contribuição (resíduo) do polo que ficar no interior.

Passo 2

A função f(z)=z(z-1)(z-2) tem polos simples em z=1 e z=2. Como o contorno é o círculo de centro em z=1 e raio tfrac12, temos: se z0=1 então |z0-1|=0 (dentro) e se z0=2 então |2-1|=1>tfrac12 (fora). Logo, só o polo em z=1 contribui.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=1, usamos a definição para polo simples:
Resz=1f(z)=limzto1(z-1)z(z-1)(z-2)=limzto1zz-2=11-2=-1

Passo 4

Pelo Teorema de Resíduos (Teorema 5.5.2), a integral é
ointCz(z-1)(z-2),dz=2pi isumpolos internosResf=2pi icdot(-1)=-2pi i

Resposta

-2\pi i

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