Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
u(x, y)=ln raizx^2+y^2
Definição: A equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções u(x, y) dessa equação são chamadas funções harmônicas.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função u(x,y)=lnraizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy=0. Vamos usar derivadas parciais de segunda ordem para checar isso.

Passo 2

Para facilitar, definimos r=raizx^2+y^2, de modo que u=ln r. Como partial r/partial x = x/r, temos
ux = 1rcdotxr = xr^2
De modo análogo,
uy = yr^2

Passo 3

Agora precisamos de uxx e uyy. Se chamamos D=x^2+y^2 (então r^2=D), escrevemos ux = x D^-1 e aplicamos a regra do produto:
uxx = partialpartial xl(xD^-1r) = D^-1 - 2x^2D^-2 = 1D - 2x^2D^2
Do mesmo jeito,
uyy = 1D - 2y^2D^2

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem temos:
$$u_{xx}+u_{yy} = \Bigl(\frac{1}{D}-\frac{2x2}{D2}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{D}-\frac{2y2}{D2}\Bigr)
= \frac{2}{D} - \frac{2(x2+y2)}{D^2}. uxx+uyy = l(1D-2x^2D^2r) + l(1D-2y^2D^2r) = 2D - 2(x^2+y^2)D^2\frac{2}{D} - \frac{2D}{D^2} = \frac{2}{D} - \frac{2}{D} = 0.$$

Passo 5

Como uxx+uyy=0 sempre que r>0 (isto é, em R^2setminus(0,0)), concluímos que u satisfaz a equação de Laplace nesse domínio, ou seja, é uma função harmônica em todo ponto diferente da origem.

Resposta

A função u(x,y)=lnraizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace para todo (x,y)neq(0,0), logo é harmônica em R^2setminus(0,0).

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