Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Definição: A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções
dessa equação são chamadas funções harmônicas.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace
. Vamos usar derivadas parciais de segunda ordem para checar isso.
Passo 2
Para facilitar, definimos
, de modo que
. Como
, temos
De modo análogo,
Passo 3
Agora precisamos de
e
. Se chamamos
(então
), escrevemos
e aplicamos a regra do produto:
Do mesmo jeito,
Passo 4
Somando as derivadas de segunda ordem temos:
$$u_{xx}+u_{yy} = \Bigl(\frac{1}{D}-\frac{2x2}{D2}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{D}-\frac{2y2}{D2}\Bigr)
= \frac{2}{D} - \frac{2(x2+y2)}{D^2}.
\frac{2}{D} - \frac{2D}{D^2} = \frac{2}{D} - \frac{2}{D} = 0.$$
Passo 5
Como
sempre que
(isto é, em
), concluímos que
satisfaz a equação de Laplace nesse domínio, ou seja, é uma função harmônica em todo ponto diferente da origem.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace para todo
, logo é harmônica em
.