Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx(5 - 4x - x^2)^3/2. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar completar o quadrado no polinômio do denominador.

Passo 2

Primeiro vamos completar o quadrado em 5 - 4x - x^2. Note que
5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -l((x+2)^2 - 9r) = 9 - (x+2)^2

Passo 3

Com isso fazemos a mudança de variável t = x+2, logo dx = dt e a integral vira
integral dx(5 - 4x - x^2)^3/2 = integral dtl(9 - t^2r)^3/2

Passo 4

Agora usamos a substituição trigonométrica t = 3sintheta. Então dt = 3costheta,dtheta e
9 - t^2 = 9 - 9sin^2theta = 9cos^2theta,
portanto
l(9 - t^2r)^3/2 = (9cos^2theta)^3/2 = 27cos^3theta

Passo 5

Substituindo na integral:
integral dt(9 - t^2)^3/2 = integral 3costheta,dtheta27cos^3theta = 19 integral sec^2theta,dtheta

Passo 6

Integrando:
19 integral sec^2theta,dtheta = 19 tantheta + C

Passo 7

Voltemos às variáveis originais. Como t = 3sintheta, temos sintheta = t/3 e
tantheta = sinthetacostheta = t/3raiz1 - (t/3)^2 = traiz9 - t^2

Passo 8

Logo
19 tantheta + C = 19 cdot traiz9 - t^2 + C = x+29raiz9 - (x+2)^2 + C

Passo 9

Como raiz9 - (x+2)^2 = raiz5 - 4x - x^2, a resposta final fica:
x+29raiz5 - 4x - x^2 + C

Resposta

\displaystyle \frac{x+2}{9\sqrt{5 - 4x - x^2}} + C

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