Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z|=4
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z|=4
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
. O conteúdo envolve integração em contorno usando o Teorema de Cauchy (5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (5.5.2) para lidar com singularidades.
Passo 2
Identificamos que a função
tem polos simples em
e
. Como ambos satisfazem
e
, eles estão dentro do contorno, então não podemos usar direto o Teorema de Cauchy (que daria zero se fosse analítica em todo interior).
Pelo Teorema dos Resíduos (5.5.2), a integral vale vezes a soma dos resíduos de
nos polos internos. Ou seja,
["\displaystyle \oint_{C} f(z),dz = 2\pi i \sum_{polos internos} \mathrm{Res}(f,polo)",“Aqui temos dois polos, em 1 e em 2.”]
Pelo Teorema dos Resíduos (5.5.2), a integral vale
["\displaystyle \oint_{C} f(z),dz = 2\pi i \sum_{polos internos} \mathrm{Res}(f,polo)",“Aqui temos dois polos, em 1 e em 2.”]
Passo 3
Calculando o resíduo em
:
Calculando o resíduo em
:
Passo 4
Somando os resíduos:
. Portanto,
Resposta
2\pi i