Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z}{(z-1)(z-2)} d z ;
|z|=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC z(z-1)(z-2),dz onde C é o círculo |z|=4. O conteúdo envolve integração em contorno usando o Teorema de Cauchy (5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (5.5.2) para lidar com singularidades.

Passo 2

Identificamos que a função f(z)=z(z-1)(z-2) tem polos simples em z=1 e z=2. Como ambos satisfazem |1|<4 e |2|<4, eles estão dentro do contorno, então não podemos usar direto o Teorema de Cauchy (que daria zero se fosse analítica em todo interior).
Pelo Teorema dos Resíduos (5.5.2), a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos de f nos polos internos. Ou seja,
["\displaystyle \oint_{C} f(z),dz = 2\pi i \sum_{polos internos} \mathrm{Res}(f,polo)",“Aqui temos dois polos, em 1 e em 2.”]

Passo 3

Calculando o resíduo em z=1:
Resl(f,1r) = limzto1(z-1)z(z-1)(z-2) = 11-2 = -1
Calculando o resíduo em z=2:
Resl(f,2r) = limzto2(z-2)z(z-1)(z-2) = 22-1 = 2

Passo 4

Somando os resíduos: (-1) + 2 = 1. Portanto,
ointC z(z-1)(z-2),dz = 2pi i times 1 = 2pi i

Resposta

2\pi i

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