Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)} d z ;
|z-1-i|=1

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral ointCz+2z^2(z-1-i),dz, onde o contorno C é o círculo |z-1-i|=1. O conteúdo envolvido é integral de contorno em variável complexa e aplicaremos o Teorema dos Resíduos (Teoremas 5.5.1 e 5.5.2).

Passo 2

Identificação dos polos: a função f(z)=z+2z^2(z-1-i) tem polos em z=0 (ordem 2) e em z=1+i (simples). O círculo |z-1-i|=1 envolve apenas o polo z=1+i, pois |0-(1+i)|=raiz2>1.

Passo 3

Cálculo do resíduo em z=1+i: como é polo simples, usamos
Res(f,1+i)=limzto1+i(z-(1+i))z+2z^2(z-1-i)=(1+i)+2(1+i)^2=3+i(1+i)^2
Como (1+i)^2=1+2i+i^2=2i, obtém-se
Res(f,1+i)=3+i2i=1-3i2

Passo 4

Aplicação do Teorema dos Resíduos: a integral vale
ointC f(z),dz=2pi isumpólos internosRes=2pi icdot1-3i2=pi i(1-3i)=3pi+pi i ó

Resposta

3\pi+\pi i

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