Resolva as integrais:
( 30 pontos) -
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular
\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^{3}x\,\operatorname{sec} x\,dx.
O conteúdo é integração de potências de \tan e \operatorname{sec}, usando identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Observamos que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Podemos escrever
\tan^{3}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\tan^{2}x\;\bigl(\tan x\,\operatorname{sec} x\,dx\bigr)
e como \tan x\,\operatorname{sec} x\,dx=d(\operatorname{sec} x), fica claro o caminho para a substituição.

Passo 3

Usamos a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1. Se fizermos u=\operatorname{sec} x, então du=d(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x\,dx. Assim,
\int\tan^{3}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\int(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,d(\operatorname{sec} x) =\int(u^{2}-1)\,du =\frac{u^{3}}{3}-u+C =\frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3}-\operatorname{sec} x+C.

Passo 4

Trata-se de uma integral imprópria, pois \operatorname{sec} x\to\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^{-}. Calculamos o limite
\lim_{b\to\frac{\pi}{2}^{-}} \Biggl[\frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3}-\operatorname{sec} x\Biggr]_{0}^{b} =\lim_{b\to\frac{\pi}{2}^{-}} \Bigl(\tfrac{\operatorname{sec}^{3}b}{3}-\operatorname{sec} b\Bigr) -\Bigl(\tfrac{\operatorname{sec}^{3}0}{3}-\sec0\Bigr).
Como \sec0=1, em x=0 o primitivo vale \tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{2}{3}. Já para b\to\frac{\pi}{2}^{-}, \operatorname{sec} b\to+\infty implica \tfrac{\operatorname{sec}^{3}b}{3}-\operatorname{sec} b\to+\infty. Logo a integral diverge.

Resposta

A integral diverge para +\infty.

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