(valor 4,0 pontos). Estude a convergência da expressão: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x. Siga o roteiro abaixo nessa questão:
a) Calcule o valor de \lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x
b) Calcule o valor de \lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{0}^{a} \frac{1}{1+x^{2}} d x
c) Soma o valor obtido na letra a com o valor obtido na letra b.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
dividindo em duas partes:
a) \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx
b) \lim_{a\to+\infty}\int_{0}^{a}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx
Usaremos como teoria que uma antiderivada de \frac{1}{1+x^{2}} é \arctan(x), e que
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}, \quad \lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Calcular
\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Usamos a antiderivada:
\int_{a}^{0}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =\bigl[\arctan(x)\bigr]_{x=a}^{x=0} =\arctan(0)-\arctan(a) =0-\arctan(a) =-\arctan(a).
Fazendo a\to-\infty,
-\arctan(a)\;\longrightarrow\; -\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{2}.
Logo, a letra (a) vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Calcular
\lim_{a\to+\infty}\int_{0}^{a}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
De novo, com a antiderivada:
\int_{0}^{a}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =\bigl[\arctan(x)\bigr]_{x=0}^{x=a} =\arctan(a)-\arctan(0) =\arctan(a)-0 =\arctan(a).
Fazendo a\to+\infty,
\arctan(a)\;\longrightarrow\;\frac{\pi}{2}.
Portanto, a letra (b) vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Somar os resultados de (a) e (b):
\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.
Isso mostra que o integral impróprio converge e seu valor é \pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados