RESOLVA 5 DAS INTEGRAIS ABAIXO
integral w^2 e^-w d w

Passo 1

Vamos resolver a integral integral w^2 e^-w dw. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do tópico de integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, temos w^2 e^-w. Vamos escolher:
u = w^2 e dv = e^-w dw
Fazemos essa escolha porque ao derivar u, simplificamos a expressão, e ao integrar dv, obtemos uma função fácil de manejar.

Passo 4

Agora, derivamos u e integramos dv:
du = ddw(w^2) dw = 2w , dw
v = integral e^-w dw = -e^-w

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral w^2 e^-w dw = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= w^2 (-e^-w) - integral (-e^-w) (2w) dw
Simplificando:
= -w^2 e^-w + 2 integral w e^-w dw

Passo 6

Agora precisamos resolver a integral integral w e^-w dw. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Escolhemos:
u = w e dv = e^-w dw

Passo 7

Derivando u e integrando dv:
du = dw
v = integral e^-w dw = -e^-w

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral w e^-w dw = uv - integral v , du
Substituindo:
= w (-e^-w) - integral (-e^-w) dw
Simplificando:
= -w e^-w + integral e^-w dw
= -w e^-w - e^-w

Passo 9

Voltando à expressão anterior:
-w^2 e^-w + 2 ( -w e^-w - e^-w )
Distribuindo o 2:
-w^2 e^-w - 2w e^-w - 2 e^-w

Resposta

Portanto, a integral integral w^2 e^-w dw é igual a:
- e^-w (w^2 + 2w + 2) + C
onde C é a constante de integração.

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