Seja F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, x<0, y<0:
O campo F é conservativo?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=-yx^2+y^2,i+xx^2+y^2,j
definido no domínio D=(x,y)mid x<0,;y<0. Queremos verificar se F é conservativo em D. Para isso, vamos usar o critério: campo de classe C^1 num domínio simplesmente conexo e com rotacional nulo implica que é conservativo.

Passo 2

Observamos que D é o terceiro quadrante aberto, que é convexo e, portanto, simplesmente conexo, e não contém o ponto singular (0,0). Em D as componentes de F são de classe C^1.

Passo 3

Definindo
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =(1)(x^2+y^2)-x,(2x)(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =(-1)(x^2+y^2)-(-y),(2y)(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2+2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Como
partial Qpartial x =partial Ppartial y em D
e o domínio D é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo em D.

Resposta

Sim, o campo F é conservativo no domínio dado.

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