Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\frac{d x}{\\\sqrt{1-4 x^{2}}}\\\

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^{2}}}
O conteúdo envolvido é técnica de substituição/transformação trigonométrica, pois reconhecemos uma forma que remete à derivada de \arcsin.

Passo 2

Note que
1-4x^{2} = 1-(2x)^{2},
então faz sentido definir a substituição
u = 2x.

Passo 3

Da substituição u=2x vem
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral, temos
\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^{2}}} = \int \frac{\tfrac{du}{2}}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac12 \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},
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\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin(u) + C.
Portanto
\frac12 \int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \frac12\,\arcsin(u) + C.

Passo 5

Bast a voltar à variável x, usando u=2x:
\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^{2}}} = \frac12\,\arcsin\bigl(2x\bigr) + C.

Resposta

\frac12\,\arcsin\bigl(2x\bigr) + C

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