Resolva as integrais abaixo
\int\left(2 \operatorname{tg}^{2}(x)+4 \cot g^{2}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2\tan^2(x)+4\cot^2(x)\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é identidade trigonométrica e primitivação de funções trigonométricas básicas, em especial usar
\tan^2(x)=\operatorname{sec}^2(x)-1 e \cot^2(x)=\csc^2(x)-1.

Passo 2

Aplicamos as identidades
\tan^2(x)=\operatorname{sec}^2(x)-1,
\cot^2(x)=\csc^2(x)-1
para reescrever o integrando. Assim
2\tan^2(x)+4\cot^2(x) =2\bigl(\operatorname{sec}^2(x)-1\bigr)+4\bigl(\csc^2(x)-1\bigr).

Passo 3

Distribuindo os coeficientes, obtemos
2\operatorname{sec}^2(x)-2+4\csc^2(x)-4 =2\operatorname{sec}^2(x)+4\csc^2(x)-6.
Portanto a integral fica
\int\bigl(2\operatorname{sec}^2(x)+4\csc^2(x)-6\bigr)\,dx.

Passo 4

Primitivamos termo a termo usando
\displaystyle\int\operatorname{sec}^2(x)\,dx=\tan(x),
\displaystyle\int\csc^2(x)\,dx=-\cot(x) e
\displaystyle\int 1\,dx=x. Logo
\int2\operatorname{sec}^2(x)\,dx=2\tan(x),
\int4\csc^2(x)\,dx=4\bigl(-\cot(x)\bigr)=-4\cot(x),
\int(-6)\,dx=-6x.
Somando tudo mais a constante de integração, obtemos a primitiva.

Resposta

2\tan(x)-4\cot(x)-6x + C.

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