Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\operatorname{sec} ^{2} 5 x d x\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int \operatorname{sec}^2(5x)\,dx.
Isso envolve integração de função trigonométrica, em que usamos a substituição para transformar em uma integral básica do tipo \int \operatorname{sec}^2(u)\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x,
logo
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sec}^2(5x)\,dx = \int \operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^2(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \tan(u) + C.
Logo,
\frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \frac{1}{5}\,\tan(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, onde u=5x, o resultado final é
\frac{1}{5}\,\tan(5x) + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{5}\,\tan(5x) + C}

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