Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\operatorname{sec} 4 x \\\operatorname{tg} 4 x d x\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}(4x)\tan(4x)\,dx.
Esse problema usa a regra de substituição e a propriedade de que a derivada de \operatorname{sec}(u) é \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u'.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 4x, temos
du = 4\,dx
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dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{sec}(4x)\tan(4x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du.

Passo 4

Como sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec}(u)\bigr) = \operatorname{sec}(u)\tan(u),
a integral de \operatorname{sec}(u)\tan(u) em relação a u é \operatorname{sec}(u). Logo
\frac{1}{4}\int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du = \frac{1}{4}\operatorname{sec}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=4x e concluímos que
\int \operatorname{sec}(4x)\tan(4x)\,dx = \frac{1}{4}\operatorname{sec}(4x) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\operatorname{sec}(4x) + C

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