Resolva as integrais abaixo:
\int_{-\pi}^{\pi} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos(2x).
  • Os limites de integração são x=-\pi e x=\pi.
  • O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação sobre simetria (estratégia 1): a função cosseno é uma função par, ou seja, \cos(-t)=\cos(t) para todo t. Aplicando isso a \cos(2x) temos
\cos(2(-x))=\cos(-2x)=\cos(2x),
portanto \cos(2x) é par. Para integrais em intervalos simétricos em torno de zero vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx
quando f é par. Assim podemos escrever
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} \cos(2x)\,dx.

Passo 3

Cálculo da primitiva (estratégia direta): recordando a regra da diferenciação, \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x). Invertendo isso, a primitiva de \cos(2x) é
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)+C.
Explicando por substituição: faça u=2x, então du=2\,dx e dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \cos(2x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u)+C = \frac{1}{2}\sin(2x)+C.

Passo 4

Avaliação da integral definida usando a primitiva: aplicando o teorema fundamental do cálculo,
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x)\,dx = \left.\frac{1}{2}\sin(2x)\right|_{x=-\pi}^{x=\pi} = \frac{1}{2}\big(\sin(2\pi)-\sin(-2\pi)\big).
Sabendo que \sin(2\pi)=0 e \sin(-2\pi)=0, obtemos
\frac{1}{2}(0-0)=0.

Passo 5

Comentário adicional (intuição): como \cos(2x) tem período \pi, o intervalo [-\pi,\pi] contém dois períodos completos; a integral de uma função cosseno ao longo de um período inteiro é zero, então faz sentido que a integral sobre dois períodos seja também zero. Mas o cálculo da primitiva confirma o resultado.

Resposta

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