Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral x^2 cos x d x=x^2 sin x+2 x cos x-2 sin x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2cos x,dx. Essa integral envolve a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos usar essa fórmula para resolver.

Passo 2

Primeiro, escolhemos:
u = x^2, dv = cos x,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - integral 2xsin x,dx

Passo 3

Agora precisamos calcular integral 2xsin x,dx. Podemos tirar o 2 para fora:
integral 2xsin x,dx = 2integral xsin x,dx
Para integral xsin x,dx aplicamos integração por partes novamente, escolhendo:
u = x, dv = sin x,dx, du = dx, v = integral sin x,dx = -cos x
Então:
integral xsin x,dx = -xcos x - integral(-cos x),dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
Multiplicando por 2:
2integral xsin x,dx = -2xcos x + 2sin x

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão obtida no passo 2, temos:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - l(-2xcos x + 2sin xr) + C
Ao distribuir o sinal negativo e simplificar, chega-se a:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x + 2xcos x - 2sin x + C

Resposta

x^2sin x + 2xcos x - 2sin x + C

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