Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
Temos a integral
. Nosso objetivo é mostrar que ela é igual a
. Para isso, vamos usar o método de substituição, que é útil quando vemos uma parte da derivada da nossa substituição aparecendo no integrando.
Passo 2
Definimos a substituição
. Sabemos que
, então ao derivar
obtemos
Passo 3
Agora, observe que no integrando temos exatamente
, o que corresponde a
. Também vemos que
. Assim, reescrevemos a integral em função de
:
Passo 4
Aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
. Aqui
, então
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original usando
. Assim, o resultado da integral fica:
Resposta
-\frac{1}{1+\tan x} + C