Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral (sec x)^2(1+tan x)^2 d x=-11+tan x+C

Passo 1

Temos a integral integral (sec x)^2(1+tan x)^2,dx. Nosso objetivo é mostrar que ela é igual a -11+tan x+C. Para isso, vamos usar o método de substituição, que é útil quando vemos uma parte da derivada da nossa substituição aparecendo no integrando.

Passo 2

Definimos a substituição u = 1 + tan x. Sabemos que ddx(tan x) = (sec x)^2, então ao derivar u obtemos
du = (sec x)^2,dx

Passo 3

Agora, observe que no integrando temos exatamente (sec x)^2,dx, o que corresponde a du. Também vemos que (1+tan x)^2 = u^2. Assim, reescrevemos a integral em função de u:
integral (sec x)^2(1+tan x)^2,dx = integral duu^2 = integral u^-2,du

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrais: para nneq -1, integral u^n,du = u^n+1n+1. Aqui n = -2, então
integral u^-2,du = u^-1-1 = -u^-1 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u = 1 + tan x. Assim, o resultado da integral fica:
-11+tan x + C

Resposta

-\frac{1}{1+\tan x} + C

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