Utilize integral dupla para determinar a área da região.
A região contida pela cardióide r = 1 - sen(θ)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela cardióide dada pela equação polar usando integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como configurar uma integral dupla nessa coordenada para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, um ponto é definido por (a distância até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo x). A equação da cardióide que temos é . Essa equação nos descreve uma curva especial chamada cardióide.
Para encontrar a área dessa região usando uma integral dupla, precisamos configurar os limites de integração para e . Como estamos trabalhando em coordenadas polares, a área infinitesimal é dada por:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a cardióide , percebemos que essa curva completa uma volta completa quando varia de a . Portanto, os limites para serão de a .
Para cada ângulo dentro desse intervalo, varia de (no centro) até a borda da cardióide, que é . Então, os limites para são de a .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla para a área :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar fatorando o para fora da integral:

Passo 7

Expandindo o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão da área:

Resposta

A área da região delimitada pela cardióide é unidades de área.

Exercícios relacionados