Utilize integral dupla para determinar a área da região.
A região contida pela cardióide
A região contida pela cardióide
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela cardióide dada pela equação polar
usando integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como configurar uma integral dupla nessa coordenada para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, um ponto é definido por
(a distância até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo x). A equação da cardióide que temos é
. Essa equação nos descreve uma curva especial chamada cardióide.
Para encontrar a área dessa região usando uma integral dupla, precisamos configurar os limites de integração para
e
. Como estamos trabalhando em coordenadas polares, a área infinitesimal
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a cardióide
, percebemos que essa curva completa uma volta completa quando
varia de
a
. Portanto, os limites para
serão de
a
.
Para cada ângulo
dentro desse intervalo,
varia de
(no centro) até a borda da cardióide, que é
. Então, os limites para
são de
a
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla para a área
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar fatorando o
para fora da integral:
Passo 7
Expandindo o termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão da área:
Resposta
A área da região delimitada pela cardióide
é
unidades de área.