Resolva as integrais definidas abaixo
integral1 / 2^1 / raiz2 4raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1/2^1/raiz2 4raiz1 - x^2,dx. O assunto é integração de funções que levam a arcoseno, pois sabemos que a antiderivada de 1/raiz1 - x^2 é arcsin(x).

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 4 para fora da integral:
integral1/2^1/raiz2 4raiz1 - x^2,dx = 4 integral1/2^1/raiz2 1raiz1 - x^2,dx

Passo 3

Em seguida, aplicamos a fórmula de antiderivada de 1/raiz1 - x^2. Temos
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin(x) + C

Passo 4

Agora avaliamos arcsin(x) nos limites de integração. Então:
4l[arcsin(x)r]x=1/2^x=1/raiz2 = 4l(arcsin(1/raiz2) - arcsin(1/2)r)

Passo 5

Sabemos os valores especiais: arcsin(1/raiz2) = pi/4 e arcsin(1/2) = pi/6. Logo:
4l(tfracpi4 - tfracpi6r) = 4l(tfrac3pi - 2pi12r) = 4cdottfracpi12 = tfracpi3

Resposta

pi3

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