Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int_{1}^{5}\left(x^{2}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{5}\Bigl(x^{2}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
Vamos usar as regras básicas de integração de potências e, em seguida, o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites.

Passo 2

Encontramos primeiro a antiderivada de x^{2} + 3x^{-2} usando \displaystyle\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
\int\Bigl(x^{2}+3x^{-2}\Bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - 3x^{-1} + C.

Passo 3

Aplicando os limites de 1 a 5, obtemos
\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - \tfrac{3}{x}\Bigr]_{1}^{5} = \Bigl(\tfrac{5^{3}}{3} - \tfrac{3}{5}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1^{3}}{3} - \tfrac{3}{1}\Bigr).
Agora simplificamos cada parte separadamente:
\tfrac{125}{3} - \tfrac{3}{5} = \frac{625 - 9}{15} = \frac{616}{15},
\tfrac{1}{3} - 3 = -\tfrac{8}{3}.
Logo,
\frac{616}{15} - \Bigl(-\frac{8}{3}\Bigr) = \frac{616}{15} + \frac{40}{15} = \frac{656}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{656}{15}

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