Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int\left(1+t g^{2}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(1 + t\,g^{2}(x)\bigr)\,dx,
onde t é constante e g é uma função qualquer de x. O conteúdo aqui é integração elementar e usaremos a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Aplicamos a linearidade:
\int\bigl(1 + t\,g^{2}(x)\bigr)\,dx =\int 1\,dx \;+\; t\int g^{2}(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos cada termo separadamente.
Para o primeiro termo, como \int 1\,dx = x.
Para o segundo, t sai como constante da integral, ficando
t\int g^{2}(x)\,dx.
Como não temos a forma explícita de g(x), representamos uma primitiva de g^{2}(x) por uma função G(x) tal que
G'(x)=g^{2}(x).

Resposta

\int\bigl(1 + t\,g^{2}(x)\bigr)\,dx = x \;+\; t\,G(x) \;+\; C,
onde G(x) é qualquer antiderivada de g^{2}(x) e C é a constante de integração.

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