Verifique, por derivação, que as seguintes expressões integrais são válidas:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\ln \left(\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\right)+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que a função
F(x)=\ln\bigl|\,x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,\bigr|+C
é uma primitiva de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,.
Ou seja, precisamos checar que
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,.

Passo 2

Defina
F(x)=\ln\bigl|u(x)\bigr|\quad\text{com}\quad u(x)=x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,.
Pela regra da cadeia,
F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\,.

Passo 3

Calcule u'(x). Temos
u(x)=x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}
e usando a derivada de \sqrt{g(x)},
\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-a^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,.
Logo,
u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,.

Passo 4

Agora substituímos em F'(x)=u'(x)/u(x):
F'(x) =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}}{\,x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,} =\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}} {x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})}.

Passo 5

No numerador aparece exatamente x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}, que cancela com parte do denominador, restando
F'(x) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,,
que é precisamente o integrando original.

Resposta

Verificamos que
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|\Bigr] =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,,
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\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C.

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