Verifique, por derivação, que as seguintes expressões integrais são válidas: \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\ln \left(\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\right)+C Passo 1O enunciado pede para verificar, por derivação, que a função F(x)=\ln\bigl|\,x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,\bigr|+C é uma primitiva de f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,. Ou seja, precisamos checar que F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,. Passo 2Defina F(x)=\ln\bigl|u(x)\bigr|\quad\text{com}\quad u(x)=x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,. Pela regra da cadeia, F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\,. Passo 3Calcule u'(x). Temos u(x)=x+\sqrt{x^{2}-a^{2}} e usando a derivada de \sqrt{g(x)}, \frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-a^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,. Logo, u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,. Passo 4Agora substituímos em F'(x)=u'(x)/u(x): F'(x) =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}}{\,x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,} =\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}} {x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}\,(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})}. Passo 5No numerador aparece exatamente x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}, que cancela com parte do denominador, restando F'(x) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,, que é precisamente o integrando original. RespostaVerificamos que \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|\Bigr] =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,, logo \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva as integrais definidas e indefinidas abaixo: \int\left(1+t g^{2}(x)\right) d x Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo: \int_{-\pi / 3}^{\pi / 4}(\cos (x)+2 \operatorname{sen}(x)) d x Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo: \int_{1}^{5}\left(x^{2}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo: \int_{0}^{2 \sqrt{2}}\left(\sqrt{x^{3}}-\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x