Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{4 \cos (\theta)} \cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta) r e^{r^{2}} d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{\theta=\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4\cos\theta} \cos\theta\,\sin\theta\;r\,e^{r^{2}} \,dr\,d\theta.
O conteúdo aqui é separação de variáveis usando substituições do tipo u=r^{2} para a parte em r e v=\cos^{2}\theta para a parte em \theta.

Passo 2

Calcular primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{4\cos\theta}r\,e^{r^{2}}\,dr.
Fazendo u=r^{2}\implies du=2r\,dr, temos r\,dr=du/2, logo
\int_{0}^{4\cos\theta}r\,e^{r^{2}}\,dr =\int_{u=0}^{16\cos^{2}\theta}\frac{e^{u}}{2}\,du =\frac{1}{2}\Bigl[e^{u}\Bigr]_{0}^{16\cos^{2}\theta} =\frac{1}{2}\bigl(e^{16\cos^{2}\theta}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo de volta, a integral fica
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\,\sin\theta\;\frac{1}{2}\bigl(e^{16\cos^{2}\theta}-1\bigr) \,d\theta =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\,\sin\theta\,\bigl(e^{16\cos^{2}\theta}-1\bigr) \,d\theta.

Passo 4

Para a parte em \theta, faça v=\cos^{2}\theta. Então
dv=-2\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta\,\sin\theta\,d\theta=-\frac{dv}{2}.
Quando \theta=\tfrac{\pi}{6}, v=\cos^{2}\tfrac{\pi}{6}=(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\tfrac{3}{4};
quando \theta=\tfrac{\pi}{2}, v=0. Assim,
\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\,\sin\theta\,(e^{16v}-1)\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{v=\frac{3}{4}}^{0}(e^{16v}-1)\Bigl(-\frac{dv}{2}\Bigr) =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{3}{4}}(e^{16v}-1)\,dv.

Passo 5

Calcule a integral em v:
\int_{0}^{\frac{3}{4}}(e^{16v}-1)\,dv =\Bigl[\frac{e^{16v}}{16}-v\Bigr]_{0}^{\frac{3}{4}} =\frac{e^{12}-1}{16}-\frac{3}{4}.
Multiplicando por \tfrac{1}{4} resulta
\frac{1}{4}\Bigl(\frac{e^{12}-1}{16}-\frac{3}{4}\Bigr) =\frac{e^{12}-1}{64}-\frac{3}{16} =\frac{e^{12}-13}{64}.

Resposta

\boxed{\frac{e^{12}-13}{64}}.

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