Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{0}^{4} \int_{0}^{1} x e^{x y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{1} x\,e^{x y}\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração iterada (teorema de Fubini). Vamos integrar primeiro em y, tratando x como constante, e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1} x\,e^{x y}\,dy.
Como x é constante em relação a y, temos
x\int_{0}^{1} e^{x y}\,dy.
A primitiva de e^{x y} em y é \tfrac{1}{x}e^{x y}. Logo, avaliando de 0 a 1, obtemos
x\biggl[\frac{1}{x}e^{x y}\biggr]_{y=0}^{y=1} = e^{x}-1.

Passo 3

Substituindo na integral externa, fica
\int_{0}^{4}\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo: a primitiva de e^{x} é e^{x} e a de 1 é x. Portanto,
\Bigl[e^{x}-x\Bigr]_{0}^{4} =(e^{4}-4)-(e^{0}-0) =e^{4}-4-1 =e^{4}-5.

Resposta

e^{4}-5

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