Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=|x-1|, c=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=|x-1| e pede para mostrar que ela não é derivável em c=1. Vamos usar a definição de derivada pela diferença de quocientes e comparar as derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Calculamos a derivada pela direita em x=1. Definindo h>0,
f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|(1+h)-1|-|1-1|}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h} =1.

Passo 3

Agora a derivada pela esquerda em x=1. Definindo h<0,
f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h} =-1.

Passo 4

Como as derivadas laterais são diferentes, isto é,
f'_+(1)=1\quad\text{e}\quad f'_-(1)=-1,
a derivada de f em x=1 não existe.

Resposta

A função f(x)=|x-1| não é derivável em c=1 porque as derivadas lateral direita e lateral esquerda em 1 são diferentes.

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