1. Resolva as integrais duplas
    a) \int_{1}^{2} \int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^{2} y d y d x
    b) \int_{0}^{2} \int_{y^{2}}^{2 y}(4 x-y) d x d y
    c) \int_{1}^{2} \int_{x^{3}}^{x} e^{\frac{y}{x}} d y d x
    d) \int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais duplas de funções elementares em regiões retangulares ou “faixas” no plano (x,y). Vamos usar a definição de integral iterada (Fubini), integrando primeiro em y ou x conforme está dado, e depois em x ou y. As técnicas envolvidas são integração de polinômios, substituição simples e integrais de funções racionais típicas.

Passo 2

Para
\int_{1}^{2}\!\int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^{2}\,y\;dy\,dx
tratamos x^{2} como constante na integração em y.
\int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^{2}y\,dy = x^{2}\,\biggl[\frac{y^{2}}{2}\biggr]_{y=1-x}^{y=\sqrt{x}} = \frac{x^{2}}{2}\Bigl((\sqrt{x})^{2}-(1-x)^{2}\Bigr) = \frac{x^{2}}{2}\bigl(x-(1-2x+x^{2})\bigr)
= \frac{x^{2}}{2}\,(3x-1-x^{2}) = \frac{-x^{4}+3x^{3}-x^{2}}{2}.
Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}\frac{-x^{4}+3x^{3}-x^{2}}{2}\,dx = \Bigl[-\frac{x^{5}}{10}+\frac{3x^{4}}{8}-\frac{x^{3}}{6}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{163}{120}.

Passo 3

Para
\int_{0}^{2}\!\int_{y^{2}}^{2y}(4x - y)\,dx\,dy
integramos primeiro em x:
\int_{y^{2}}^{2y}(4x-y)\,dx = \Bigl[2x^{2}-yx\Bigr]_{x=y^{2}}^{x=2y} = \bigl(8y^{2}-2y^{2}\bigr)-\bigl(2y^{4}-y^{3}\bigr) = -2y^{4}+y^{3}+6y^{2}.
Agora em y:
\int_{0}^{2}(-2y^{4}+y^{3}+6y^{2})\,dy = \Bigl[-\tfrac{2y^{5}}{5}+\tfrac{y^{4}}{4}+2y^{3}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{36}{5}.

Passo 4

Para
\int_{1}^{2}\!\int_{x^{3}}^{x} e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx
fazemos a substituição t=y/x, ou notamos que \frac{d}{dy}(e^{y/x})=\tfrac{1}{x}e^{y/x}. Então
\int e^{\frac{y}{x}}\,dy = x\,e^{\frac{y}{x}}
e
\int_{x^{3}}^{x}e^{\frac{y}{x}}\,dy = x\bigl(e^{1}-e^{x^{2}}\bigr).
Logo a integral externa é
\int_{1}^{2}\bigl(xe - x e^{x^{2}}\bigr)\,dx = e\int_{1}^{2}x\,dx \;-\;\int_{1}^{2}x e^{x^{2}}\,dx = e\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} -\Bigl[\tfrac{e^{x^{2}}}{2}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{3e}{2}-\frac{e^{4}-e}{2} = 2e - \frac{e^{4}}{2}.

Passo 5

Para
\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1} \frac{1}{1+y^{2}}\,dx\,dy
a função não depende de x, então
\int_{y}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dx = \frac{1-y}{1+y^{2}}.
Agora
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{1+y^{2}}\,dy = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy - \int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\,dy = \bigl[\arctan y\bigr]_{0}^{1} - \tfrac12\bigl[\ln(1+y^{2})\bigr]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

a) \displaystyle \frac{163}{120}
b) \displaystyle \frac{36}{5}
c) \displaystyle 2e - \frac{e^{4}}{2}
d) \displaystyle \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2

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