Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \frac{\cos ^{3}(x) d x}{\sin ^{4}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cos^3(x)sin^4(x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição. Vamos reescrever a integranda de modo a aplicar a substituição mais natural.

Passo 2

Observe que cos^3(x)=cos(x),cos^2(x) e use a identidade cos^2(x)=1-sin^2(x). Assim
cos^3(x)sin^4(x) =cos(x),1-sin^2(x)sin^4(x) =cos(x),l(sin^-4(x)-sin^-2(x)r)

Passo 3

Agora faça a substituição natural
u=sin(x), du=cos(x),dx
A integral em x vira uma integral em u:
integral cos(x),l(sin^-4(x)-sin^-2(x)r),dx =integral l(u^-4-u^-2r),du

Passo 4

Integre cada termo usando a regra integral u^ndu=u^n+1/(n+1) (válida para nneq -1):
integral u^-4du=u^-3-3, integral u^-2du=u^-1-1
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integral l(u^-4-u^-2r)du =-13,u^-3+!u^-1+C

Passo 5

Volte para x usando u=sin(x):
-13,u^-3+!u^-1+C =-13,sin^-3(x)+sin^-1(x)+C
Podemos escrever em termos de cosecante:
-13,csc^3(x)+csc(x)+C

Resposta

integral cos^3(x)sin^4(x),dx =csc(x)-13,csc^3(x)+C

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