Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \frac{d x}{1-\sin (x)+\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a integral de
integral dx1 - sin(x) + cos(x)
Estamos diante de uma função trigonométrica que é um quociente de expressões em sin x e cos x. Para resolver, vamos usar a substituição de Weierstrass t = tanx2, que transforma sin x, cos x e dx em funções racionais de t.

Passo 2

No método de Weierstrass temos as fórmulas
sin x = 2t1 + t^2
cos x = 1 - t^21 + t^2
dx = 2,dt1 + t^2
com t = tanx2. Substituímos essas expressões na integral original.

Passo 3

Primeiro, simplificamos o denominador:
1 - sin x + cos x = 1 - 2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2 = (1 + t^2) - 2t + (1 - t^2)1 + t^2 = 2 - 2t1 + t^2 = 2(1 - t)1 + t^2

Passo 4

Substituindo tudo na integral, obtemos
integral dx1 - sin x + cos x = integral 2,dt1 + t^22(1 - t)1 + t^2 = integral dt1 - t

Passo 5

A integral
integral dt1 - t
é um logaritmo clássico. Seja u = 1 - t, então du = -dt e
integral dt1 - t = - integral duu = -lnl|ur| + C = -lnl|1 - tr| + C

Passo 6

Voltando à variável x, lembramos que t = tanx2. Logo, a resposta final é
-ln!l|1 - tanx2r| + C

Resposta

-ln!l|1 - tanx2r| + C

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