Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2(x),cos^3(x),dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a técnica de reduzir potências pares usando identidades e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, separamos uma cópia de cos(x) para usar na substituição e escrevemos o resto em termos de sin(x). Sabemos que
cos^3(x)=cos^2(x),cos(x)
e que
cos^2(x)=1-sin^2(x).
Aplicando essas identidades, obtemos
integral sin^2(x),cos^3(x),dx =integral sin^2(x),l(1-sin^2(x)r),cos(x),dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição
u=sin(x), du=cos(x),dx
Com isso, a integral em x passa a ser uma integral em u:
integral sin^2(x),l(1-sin^2(x)r),cos(x),dx =integral u^2,(1-u^2),du

Passo 4

Expandimos e integramos o polinômio em u:
integral u^2(1-u^2),du =integral l(u^2-u^4r),du =u^33-u^55+C

Passo 5

Voltando à variável original x, como u=sin(x), temos
u^33-u^55+C = sin^3(x)3-sin^5(x)5+C

Resposta

integral sin^2(x),cos^3(x),dx =sin^3(x)3-sin^5(x)5+C

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