Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \frac{\sin (x) d x}{1+\sin (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin(x)1+sin(x),dx. O conteúdo principal aqui é manipulação algébrica do integrando e depois uso de integrais trigonométricas básicas.

Passo 2

Observe que
sin(x)1+sin(x)=1+sin(x)-11+sin(x)=1-11+sin(x)
Então
integral sin(x)1+sin(x),dx=integral 1,dx-integral 11+sin(x),dx

Passo 3

Para integral 11+sin(x),dx, multiplicamos numerador e denominador por (1-sin(x)):
11+sin(x)cdot1-sin(x)1-sin(x)=1-sin(x)cos^2(x)=sec^2(x)-sec(x)tan(x)
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integral 11+sin(x),dx=integralsec^2(x),dx-integralsec(x)tan(x),dx=tan(x)-sec(x)+C1

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
integral sin(x)1+sin(x),dx=x-l(tan(x)-sec(x)r)+C=x-tan(x)+sec(x)+C

Resposta

x - tan(x) + sec(x) + C

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