Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \sin (x) \cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral sin(x),cos(5x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando a identidade de produto-soma para converter produto de seno e cosseno em soma de senos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(u)cos(v)=tfrac12l[sin(u+v)+sin(u-v)r]
No nosso caso u=x e v=5x, então
sin(x)cos(5x) =tfrac12l[sin(6x)+sin(-4x)r] =tfrac12l[sin(6x)-sin(4x)r]
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integral sin(x)cos(5x),dx =tfrac12integrall[sin(6x)-sin(4x)r],dx

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral sin(6x),dx=-tfrac16cos(6x), integral sin(4x),dx=-tfrac14cos(4x)

Passo 4

Substituindo na integral com o fator tfrac12, temos
tfrac12l(-tfrac16cos(6x)-l(-tfrac14cos(4x)r)r) =tfrac12l(-tfrac16cos(6x)+tfrac14cos(4x)r) =-tfrac112cos(6x)+tfrac18cos(4x)

Resposta

integral sin(x)cos(5x),dx =-tfrac112cos(6x)+tfrac18cos(4x)+C

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