Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
\int x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2raiz4 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é reconhecer uma integral do tipo integral x^2raiza^2 - x^2,dx e adotar a mudança
x = asintheta, a=2

Passo 2

Fazendo
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta, raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta,
o integrando vira
x^2raiz4 - x^2,dx = (2sintheta)^2,(2costheta),(2costheta,dtheta) =4sin^2thetacdot4cos^2theta,dtheta =16sin^2theta,cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade
sin^2theta,cos^2theta =14sin^2(2theta) =18l(1-cos(4theta)r)
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16sin^2theta,cos^2theta =16cdot18l(1-cos4thetar) =2l(1-cos4thetar) =2 - 2cos4theta
A integral em theta é
integral(2 - 2cos4theta),dtheta =2theta -2integralcos4theta,dtheta =2theta -2cdotsin4theta4 =2theta -12sin4theta + C

Passo 4

Agora voltamos a x. Temos theta=arcsin(tfracx2). Para sin4theta:
sin2theta=2sinthetacostheta =2cdotx2cdotraiz4-x^22 =xraiz4 - x^22,
cos2theta=cos^2theta-sin^2theta =4-x^24-x^24 =2 - x^22,
sin4theta=2sin2thetacos2theta =2cdotxraiz4 - x^22cdot2 - x^22 =xraiz4 - x^2,(2 - x^2)2
Portanto
-tfrac12sin4theta =-xraiz4 - x^2,(2 - x^2)4

Passo 5

Reunindo tudo:
integral x^2raiz4 - x^2,dx =2arcsinl(x2r) -xraiz4 - x^2,(2 - x^2)4 + C

Resposta

boxed integral x^2raiz4 - x^2,dx =2arcsin!l(x2r) -x,(2 - x^2)raiz4 - x^24 + C

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