Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
;
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos o rotacional
Aqui
Calculamos
,
,
Logo cada componente do rotacional é zero e
.
Como o domínio é , simplesmente conexo, e
é
, concluímos que
é conservativo.
Calculamos
Logo cada componente do rotacional é zero e
Como o domínio é
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
, integramos a componente
em relação a
:
onde
é função “constante” em
.
Passo 4
Agora impomos
:
Em seguida,
:
Portanto, podemos escolher a constante igual a zero para simplificar.
Resposta
A função potencial é