Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z, 2 x^y+2 z);

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=l(e^y+2z,,x,e^y+2z,,2x,e^y+2zr)
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Para verificar se vec F é conservativo, calculamos o rotacional
nablatimesvec F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Aqui
P=e^y+2z,; Q=x,e^y+2z,; R=2x,e^y+2z
Calculamos
partial Rpartial y=2x,e^y+2z,
partial Qpartial z=2x,e^y+2z,
partial Ppartial z=2,e^y+2z,
partial Rpartial x=2,e^y+2z,
partial Qpartial x=e^y+2z,
partial Ppartial y=e^y+2z
Logo cada componente do rotacional é zero e
nablatimesvec F=0.
Como o domínio é R^3, simplesmente conexo, e vec F é C^1, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial phi(x,y,z) satisfazendo nablaphi=vec F, integramos a componente P em relação a x:
phi(x,y,z) =integral e^y+2z,dx =x,e^y+2z+h(y,z),
onde h é função “constante” em x.

Passo 4

Agora impomos partialphipartial y=Q:
partialphipartial y = x,e^y+2z + partial hpartial y stackrel!= x,e^y+2z Longrightarrow partial hpartial y=0 ;Rightarrow;h=h(z)
Em seguida, partialphipartial z=R:
partialphipartial z =2x,e^y+2z + h'(z) stackrel!=2x,e^y+2z Longrightarrow h'(z)=0 ;Rightarrow;h=constante
Portanto, podemos escolher a constante igual a zero para simplificar.

Resposta

A função potencial é
phi(x,y,z)=x,e^y+2z

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