Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{d x}{(x+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(x+1)^{3}}
usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo é técnicas de integração por substituição, e vamos precisar lembrar da regra
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x+1,
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du = dx.

Passo 3

Em termos de u, o integrando fica
\int \frac{dx}{(x+1)^{3}} = \int \frac{du}{u^{3}} = \int u^{-3}\,du.

Passo 4

Aplicando a regra da potência para n=-3:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-3+1}}{-3+1}+C = \frac{u^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2}\,u^{-2}+C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u=x+1, temos
-\frac{1}{2}\,u^{-2}+C = -\frac{1}{2}\,\frac{1}{(x+1)^{2}}+C.

Resposta

\int \frac{dx}{(x+1)^{3}} = -\frac{1}{2\,(x+1)^{2}}+C.

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