Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{d x}{(1-7 x)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(1-7x)^{5}}
usando o método de substituição de variáveis. O conteúdo aqui é reconhecer uma função composta do tipo (1-7x)^{-5} e fazer uma troca que simplifique essa potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - 7x.
Então
du = -7\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{1}{7}\,du.
Substituindo em \displaystyle \int \frac{dx}{(1-7x)^{5}} temos
\int \frac{dx}{(1-7x)^{5}} = \int \frac{-\tfrac{1}{7}\,du}{u^{5}} = -\frac{1}{7}\,\int u^{-5}\,du.

Passo 3

Agora calculamos a integral de u^{-5}. Usando a regra
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad(n\neq -1),
com n=-5 obtemos
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4} + C.
Logo
- \frac{1}{7}\,\int u^{-5}\,du = -\frac{1}{7}\,\Bigl(\frac{u^{-4}}{-4}\Bigr) + C = \frac{1}{28}\,u^{-4} + C.

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u = 1-7x:
\frac{1}{28}\,u^{-4} + C = \frac{1}{28}\,(1-7x)^{-4} + C.

Resposta

\frac{1}{28}\,(1-7x)^{-4} + C

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