Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{4+\cos (5 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin(5x)}{4+\cos(5x)}\,dx
usando o método de substituição de variáveis.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4 + \cos(5x),
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du = -5\,\sin(5x)\,dx
e, isolando,
\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{\sin(5x)}{4+\cos(5x)}\,dx obtemos
\int \frac{\sin(5x)}{4+\cos(5x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{5}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{5}\int \frac{du}{u}.
Sabemos que \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C, logo
-\tfrac{1}{5}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{5}\,\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u=4+\cos(5x), a primitiva fica
-\frac{1}{5}\,\ln\bigl\lvert 4+\cos(5x)\bigr\rvert + C.

Resposta

-\displaystyle \frac{1}{5}\ln\bigl\lvert 4+\cos(5x)\bigr\rvert + C

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