Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{\operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^2}\,dx.
O conteúdo é o método de substituição de variáveis: escolhemos uma parte do integrando cuja derivada também aparece (até constante) no resto da expressão.

Passo 2

Tomamos
u = \frac{1}{x}.
Derivando em relação a x, vem
du = -\frac{1}{x^2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^2} = -\,du.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral original:
\int \frac{\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^2}\,dx = \int \operatorname{sec}^2(u)\,\frac{dx}{x^2} = \int \operatorname{sec}^2(u)\,(-du) = -\int \operatorname{sec}^2(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u),
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-\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = -\tan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\tfrac{1}{x}, obtemos
-\tan\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) + C.

Resposta

-\tan\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) + C

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