Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{e^{1 / x}+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{1/x} + 1}{x^{2}} \, dx
usando o método de substituição de variáveis. Vamos aplicar a regra que, se u = g(x), então du = g'(x)\,dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \frac{1}{x},
que implica
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^{2}} = -\,du.
Assim, a integral original
\int \frac{e^{1/x} + 1}{x^{2}} \, dx
torna-se
- \int (e^{u} + 1)\,du.

Passo 3

Agora integramos em função de u:
- \int (e^{u} + 1)\,du = -\int e^{u}\,du \;-\;\int 1\,du = -e^{u} \;-\; u \;+\; C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável x (já que u = 1/x), obtemos a antiderivada
-\,e^{\frac{1}{x}} \;-\;\frac{1}{x} \;+\; C.

Resposta

-\,e^{\frac{1}{x}} \;-\;\frac{1}{x} \;+\; C

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