Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral x-1(x^2+2 x+3)^2 d x

Passo 1

Estamos diante da integral indefinida
integral x - 1l(x^2 + 2x + 3r)^2,dx
O conteúdo envolve integração de função racional; vamos usar decomposição do numerador em termos de derivada do denominador e depois resolver a parte restante completando quadrado e aplicando a fórmula padrão para
integral dt(t^2+a^2)^2

Passo 2

Escrevemos
x - 1 = A,(x+1) + B
Igualando coeficientes:
A,x + A + B = x - 1 implies A = 1, A + B = -1implies B = -2
Logo
x-1(x^2+2x+3)^2 =x+1(x^2+2x+3)^2 ;-;2,1(x^2+2x+3)^2

Passo 3

Para a primeira parcela, seja
u = x^2+2x+3 Longrightarrow du = (2x+2),dx = 2(x+1),dx Longrightarrow (x+1),dx = du2
Então
integral x+1(x^2+2x+3)^2,dx = 12 integral u^-2,du = 12gl(-,u^-1gr) = -12,(x^2+2x+3)

Passo 4

Falta
-2integral dx(x^2+2x+3)^2
Fazemos a troca t = x+1, assim x^2+2x+3 = t^2+2 e dx = dt. Precisamos da fórmula
integral dt(t^2+a^2)^2 = t2a^2(t^2+a^2) + 12a^3arctan!l(tar) + C
Aqui a^2=2, a=raiz2. Logo
integral dt(t^2+2)^2 = t4,(t^2+2) + 14raiz2arctan!l(traiz2r)
Multiplicando por -2:
-2integral dx(x^2+2x+3)^2 = -2l[t4(t^2+2) + 14raiz2arctan!l(tfractraiz2r)r] = -t2(t^2+2) - 12raiz2arctan!l(tfractraiz2r)

Passo 5

Substituindo t = x+1 e somando à parte do Passo 3, obtemos
-12(x^2+2x+3) ;-;x+12l((x+1)^2+2r) ;-;12raiz2arctan!!l(x+1raiz2r) + C
Note que (x+1)^2+2 = x^2+2x+3. Então as duas frações se somam:
-1 + (x+1)2(x^2+2x+3) = -x+22(x^2+2x+3)

Resposta

boxed -x+22,(x^2+2x+3) ;-;12raiz2arctan!!l(x+1raiz2r) + C

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