Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral 2 x-1(2 x+x^2) raiz2 x+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x-1l(2x+x^2r),raiz2x+x^2,dx
Aqui o conteúdo é manipulação algébrica (fatoração e frações parciais) e substituição adequada para eliminar a raiz quadrada. Vamos reescrever o integrando de forma a separar a parte racional e a parte com raizx(x+2).

Passo 2

Observe que
2x+x^2=x(x+2),
logo
2x-1l(2x+x^2r)raiz2x+x^2 =2x-1x(x+2),raizx(x+2)
Fazendo a decomposição em frações parciais na parte racional
2x-1x(x+2)=Ax+Bx+2,
temos
2x-1 = A(x+2)+B,x =(A+B)x+2A
e o sistema
A+B=2, 2A=-1,
daí A=-tfrac12, B=tfrac52. Portanto
2x-1x(x+2) =-12cdot1x+52cdot1x+2

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral 2x-1x(x+2),raizx(x+2),dx =-tfrac12!integral dxx,raizx(x+2) +tfrac52!integral dx(x+2),raizx(x+2)
Definimos
J1=integral dxx,raizx(x+2), J2=integral dx(x+2),raizx(x+2),
de modo que a integral inteira é -tfrac12J1+tfrac52J2.

Passo 4

Fazemos o desvio simétrico
u=x+1, dx=du, x=u-1, x+2=u+1, raizx(x+2)=raizu^2-1
Então
J1 =integral du(u-1),raizu^2-1, J2 =integral du(u+1),raizu^2-1

Passo 5

Para cada uma usamos a substituição trigonométrica
u=sectheta, du=secthetatantheta,dtheta, raizu^2-1=tantheta
Em J1 surge
J1 =integral secthetatantheta,dtheta(sectheta-1),tantheta =integralsecthetasectheta-1,dtheta ;longrightarrow; J1=-u+1raizu^2-1+C1
Em J2 surge
J2 =integral secthetatantheta,dtheta(sectheta+1),tantheta =integralsecthetasectheta+1,dtheta ;longrightarrow; J2=u-1raizu^2-1+C2

Passo 6

Voltando a x (lembre que u=x+1 e raizu^2-1=raizx(x+2)),
J1=-(x+1)+1raizx(x+2), J2=(x+1)-1raizx(x+2),
portanto
-tfrac12J1+tfrac52J2 =-tfrac12l[-x+2raizx(x+2)r] +tfrac52l[xraizx(x+2)r] =3x+1raizx(x+2)+C

Resposta

boxed integral 2x-1l(2x+x^2r),raiz2x+x^2,dx =3x+1raizx^2+2x+C

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